Главная страница WWW-среды "Математические модели естетсвознания".
Страница "Конспекты и планы курсов
 

Главная страница курса "Лекции об уравнениях математической физики"
Кафедра вычислительной математики и математической физики


 

В. И. Юдович

Лекции об уравнениях математической физики

Литература по курсу математической физики

I. Основные учебники
II. Дополнительные учебники
III. Литература для дальнейшего чтения
III A. Литература по математической ФИЗИКЕ
III B. Литература по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физике
IV. Справочники и задачники

Существуют разные способы изучения новой научной дисциплины ≈ у каждого много приверженцев. Можно выбрать один учебник и последовательно его штудировать ≈ в таком варианте по первой части курса рекомендую книгу Тихонова и Самарского. Другой метод ≈ просматривать каждый раздел предмета в разных книгах, стараясь выделить главное, уловить оттенки подходов и мнений разных авторов, выбрать наиболее подходящее для себя изложение. Имеется много очевидных комбинаций этих двух способов.

Опыт говорит, что чаще всего продвижение получается быстрее, если не задерживаться слишком на неясных местах, а стараться идти дальше, обращаться к другим авторам. Возвращаясь затем к трудному месту, часто обнаруживаешь, что оно уже перестало быть таким трудным. Не надо бояться толстых книг, они обычно изложены более подробно и читаются легче. К тому же в толстой книге нужно бывает в данный момент далеко не все.

Иногда встречается и такой способ изучения предмета ≈ внимательно слушая лекции, главные усилия в самостоятельной работе прилагать к изучению тех вопросов, которые в обязательной программе совсем не затронуты или затронуты чуть-чуть. От самых сильных студентов мне случалось слышать: ╚Зачем тратить инициативу на то, что меня и так заставят выучить? Надо изучать то, чему меня никто не научит╩.

На этом трудном пути можно достигнуть значительных успехов.

Знакомясь с человеком или научным трудом, следует искать в них все лучшее, недостатки сами рано или поздно бросятся в глаза. Поэтому в аннотациях я говорю лишь о достоинствах цитируемых книг.

I. Основные учебники

  1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. ≈ M.: Наука, 1966. ≈ 724 с.

  2. Фундаментальный учебник для физиков, математиков и прикладных математиков. Авторы умело сочетают строгость и наглядность изложения. Замечательна широта физических приложений.
  3. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. ≈ M.: Наука, 1988. ≈ 512 с.

  4. Один из основных учебников для математиков и физиков-теоретиков. Очень интересна глава по теории обобщенных функций, в которой автор ≈ один из виднейших специалистов. Теория обобщенных решений предельных задач для дифференциальных уравнений и положена в основу всего изложения.
    По этой книге можно изучить основы теории специальных функций (сферических и цилиндрических), теорию интегральных уравнений и ее приложения. В книге рассмотрен целый ряд фундаментальных и актуальных уравнений теоретической физики: уравнения Шредингера, Дирака, Клейна-Гордона-Фока, нелинейные волновые уравнения ≈ в частности, уравнение Кортевега-де Фриза и др.
  5. С. Л. Соболев. Уравнения математической физики. ≈ M.: ГИТТЛ, 1966. ≈ 444 с., изд. 4-ое.

  6. Классический учебник знаменитого советского математика. Строгое математическое изложение. Интересна глава о выводе основных уравнений, а также вспомогательные главы о кратных интегралах, об интегралах, зависящих от параметра, о теории общих интегральных уравнений Фредгольма и уравнений с симметрическими ядрами.
  7. И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. ≈ M.: ГИТТЛ, 1953.

  8. Учебник для математиков, принадлежащий знаменитому советскому ученому, который первым понял, что уравнения эллиптического, гиперболического и параболического типа, встречающиеся в математической физике, являются представителями широких классов дифференциальных уравнений и систем. И. Г. Петровский заложил тем самым основы общей теории уравнений в частных производных.
  9. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов Дифференциальные уравнения математической физики. ≈ M.: Гос. изд. ф.-м. литер., 1962. ≈ 767 с.

  10. Учебник для физиков, математиков, инженеров. Помимо стандартного набора, рассмотрен целый ряд уравнений гидродинамики, акустики, теории упругости, электродинамики. Подробно разобрано большое число задач важных для приложений. Изложены основы теории интегральных преобразований и специальных функций (цилиндрических и сферических) вместе со многими приложениями. Хороша глава, посвященная обобщенным функциям.
II. Дополнительные учебники
  1. С. К. Годунов. Уравнения математической физики. ≈ M.: Наука, 1979. ≈ 352 с.

  2. Оригинальный курс лекций, прочитанный автором в Московском и Новосибирском университетах. Интересно и по-новому изложены теория гиперболических систем, применение теории размерностей, применение преобразования Лапласа, альтернирующий метод Шварца, краевая задача Гильберта, решение некорректных задач.
  3. С. Г. Михлин. Уравнения математической физики. ≈ M.: Наука, 1968. ≈ 576 с.

  4. Курс старейшего советского математика, крупного специалиста по интегральным уравнениям и вариационным методам. С этой точки зрения и проведено в книге строгое изложение теории.
  5. Ф. Трикоми. Лекции по уравнениям в частных производных. ≈ M.: Изд-во иностр. лит., 1957. ≈ 444 с.

  6. Оригинальный курс крупного итальянского математика, известного, в частности, работами по уравнениям смешанного типа. Сведения о важнейшем таком уравнении (уравнении Трикоми) здесь можно получить из первых рук. Содержателен раздел по специальным функциям.
    Интересно решил автор трудную задачу: как именовать уравнение, которое во всем мире называется уравнением Трикоми?
  7. А. Зоммерфельд. Дифференциальные уравнения в частных производных. ≈ M.: Изд-во иностр. лит., 1950.

  8. Часть многотомного курса теоретической физики знаменитого немецкого ученого, необычайно тонко чувствовавшего красоту математического описания природы ≈ совпадение математически интересного с физически важным. В этой книге надо искать не педантичные доказательства, а остроумные идеи, явные формулы, неожиданные естественнонаучные выводы и приложения.
  9. В. Н. Масленникова. Дифференциальные уравнения в частных производных. ≈ M.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1997. ≈ 447 с.

  10. Учебник для математиков, в котором особенно хорошо изложена теория обобщенных решений. По этой книге можно познакомиться с современной классификацией дифференциальных уравнений в частных производных, изучить теоремы вложения функциональных пространств С. Л. Соболева.
III. Литература для дальнейшего чтения

Ни в коем случае не думайте, что сначала нужно освоить целиком обычный курс и лишь затем можно переходить к дополнительной литературе. Напротив, начинайте читать ╚дополнительные╩ книги как можно раньше!
Математическая физика чрезвычайно многообразна, и разные авторы обозревают ее с весьма различных точек зрения. Это видно даже из приведенных кратких аннотаций.
Весьма условно я разделил следующие книги на те, где на первом месте стоит физика, и те, где в первую очередь речь идет об уравнениях в частных производных и их теории.
По поводу почти каждой книги я колебался ≈ отнести ли ее к математической ФИЗИКЕ или к МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физике.

III A. Литература по математической ФИЗИКЕ

  1. Ф. Франк и Р. Мизес. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. ≈ Л.-М.: ОНТИ, 1937. ≈ 998 с.

  2. Классическая книга (у которой, на самом деле, много авторов), возникшая из лекций Б. Римана, записанных Г. Вебером. Содержит огромный и ясно изложенный материал ≈ ╚медленно меняющуюся часть╩ математического аппарата физики и механики сплошной среды (теории упругости и гидродинамики). Ее легко (и до сих пор интересно!) читать.
  3. Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. Т. 1 ≈М.-Л.: Гостехиздат, 1951. ≈ 476 с.

  4. Р. Курант. Уравнения с частными производными. ≈ М.: Мир, 1964. ≈ 830 с.
    Обе эти книги написаны Рихардом Курантом, но математические идеи и методические установки Д. Гильберта столь глубоко повлияли на содержание и форму этих трудов, что Р. Курант поставил также и имя своего учителя. По этим книгам учились многие поколения физиков. Главное их достоинство ≈ необыкновенно ясное изложение главных идей без утомляющего читателя стремления к максимальной общности. Особенно глубоко и интересно здесь разобраны общая теория колебаний, проблемы спектров ≈ собственных частот колебаний, специальные функции ≈ цилиндрические и сферические, гиперболические и эллиптические уравнения и системы, важные уравнения физики (уравнения кристаллооптики, уравнения Максвелла, Шредингера, Дирака из теории электромагнетизма и квантовой физики), вариационные методы, обобщенные функции и их применения. Не ищите в этой книге теории параболических уравнений, она почти не затронута.
  5. Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис. Элементы математической физики. ≈ М.: Наука, 1973. ≈ 352 с.

  6. Авторы ≈ видные советские ученые, физик и математик, поставили перед собой цель ╚помочь физику освоить математику, а математику ≈ увидеть за формулами физику╩, ╚проследить связи между физическими и математическими подходами, указать наглядный смысл процедуры и промежуточных этапов (! ≈ В. Ю.) математического решения╩.
    Это не учебник, а книга для чтения, читать ее ≈ беседовать с глубокими и остроумными собеседниками.
  7. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. ≈ М.: Мир, 1982. ≈ Т. 1, ≈ 486 с., ≈ М.: Мир, 1984, ≈ Т. 2, ≈ 382 с.

  8. Автор ≈ известный специалист по численным методам решения физических задач ≈ излагает, прежде всего для физиков-теоретиков, фундаментальные математические теории, применяемые в современной физике. Это предопределяет характер изложения ≈ ультрасовременная терминология, энергичный и наглядный стиль, необычайная широта. Чего здесь только нет ≈ гильбертовы и банаховы пространства, обобщенные функции (распределения), спектральная теория и полугруппы операторов, теория вероятностей и мер, теория представлений групп, группы Ли, риманова геометрия и геодезические, бифуркации и странные аттракторы и т. д., и т. д., и т. д.
  9. Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. ≈ М.: Наука, 1978. ≈ 688 с.

  10. Изложена теория квазилинейных гиперболических уравнений и систем, в которой самое интересное ≈ возникновение ударных волн ≈ разрывных решений ≈ даже при самых гладких данных.
    Дана также теория разностных методов приближенного решения таких систем.
  11. Г. Джеффрис, Б. Свирлс. Методы математической физики. ≈ М.: Мир, 1969. ≈ Вып. 1. ≈ 423 с., ≈ М.: Мир, 1970. ≈ Вып. 2. ≈ 352 с. ≈ Вып. 3 ≈ 344 с.

  12. Первый из авторов ≈ видный английский геофизик, второй ≈ его супруга (леди Джеффрис). В этих трех выпусках не так уж много говорится об уравнениях в частных производных, зато в них изложены многие разделы анализа и алгебры, наиболее важные для классической математической физики. Здесь можно найти теорию специальных функций, контурное интегрирование и операционное исчисление, конформные отображения, ряды и интегралы Фурье, векторное и тензорное исчисление, асимптотические разложения. Всюду вкраплены разобранные изящно физические приложения и примеры. Авторы проповедуют необходимость строгих математических методов в прикладных исследованиях.
    Книга славится эпиграфами к главам. Например, эпиграф к главе о приложениях операционного исчисления: ╚Кончай разговоры, пошли к лошадям. Английская поговорка.╩
  13. Ли Цзун Дао. Математические методы в физике. ≈ М.: Мир, 1965. ≈ 296 с.

  14. Автор ≈ тот самый Ли, известный американский физик, который в 1957 г. вместе с Янгом получил Нобелевскую премию за открытие несохранения четности при слабых взаимодействиях. Книга представляет собой обработанный курс лекций, в котором в сжатой форме изложены со вкусом отобранные математические методы и результаты, необходимые для решения физических задач. Отдельные главы посвящены векторному и тензорному анализу, линейной алгебре, вариационным принципам, гильбертову пространству и разложениям по ортогональным системам функций, методам теории функций комплексного переменного и т. д. Изложение отнюдь не является полным и далеко не всегда строгим и точным, зато оно отличается наглядностью, простотой и тем здоровым прагматизмом, который свойственен многим физикам-теоретикам.
    Предисловие к русскому изданию заканчивается пикантным замечанием: ╚Проф. Ли, любезно сообщив о своем согласии на русский перевод его лекций, подчеркнул, что сам он этих лекций не читал.╩
  15. В. И. Арнольд. Лекции об уравнениях с частными производными. ≈ М.: Фазис, 1997. ≈ 175 с.

  16. Лекции великого современного математика, который поставил себе целью изложить ряд главных идей современной математической физики ≈ теорию одного уравнения в частных производных, принцип Гюйгенса в теории волн, вариационный принцип в теории колебаний и т. д. Глубоко и интересно изложена так называемая теорема Максвелла о том, что все сферические функции можно получить дифференцированием фундаментального решения. И на этом примере, и на многих других автор демонстрирует изумительное единство математики, мощь общих геометрических и концептуальных подходов. Эта книга учит, как приходить к результатам и как их осмысливать. Обоснованиям и доказательствам можно научиться по многим другим pуководствам.
III B. Литература по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физике

Нелегко отобрать литературу по этому разделу ≈ связи математической физики со всей математикой столь глубоки и всеобъемлющи, что ни об одной математической теории нельзя уверенно сказать, что она не имеет отношения к уравнениям в частных производных, математической физике, механике сплошных сред.
В следующем списке, который, конечно, весьма неполон, книги [19]√[23] посвящены различным разделам теории уравнений в частных производных и в том числе уравнениям математической физики.
Книга [24] ≈ энциклопедическое изложение разделов функционального анализа и теории операторов, которые применяются в ╚современной╩ математической физике. Кавычки здесь стоят потому, что это название, возможно, не вполне законно, узурпировала квантовая физика. Нелинейная математическая физика не менее современна, но о ней в четырехтомнике, по существу, ничего нет. При всем при этом книга ≈ замечательная.
В следующих книгах излагаются отдельные разделы математики со многими интересными приложениями к математической физике: вариационные методы (книга [25]), теория интеграла Фурье (книги [26], [27]), методы теории функций комплексного переменного (книга [28]), теория специальных функций (книга [29]). Книга [30] посвящена теории тэта-функции, которая у нас возникла в задаче о теплопроводности кольца, но имеет применение и в теории чисел, и в задаче о корнях многочленов, и в теории нелинейных уравнений с частными производными.

  1. С. Мизохата. Теория уравнений с частными производными. ≈ М.: Мир, 1977. ≈ 504 с.
  2. Л. Хермандер. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. ≈ М.: Мир, 1986. ≈ Т. 1. ≈ 1987. ≈ Т. 2
  3. О. А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. ≈ М.: Наука, 1988. ≈ 386 с.
  4. Е. М. Ландис. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. ≈ М.: Наука, 1971. ≈ 287 с.
  5. А. Фридман. Уравнения с частными производными параболического типа. ≈ М.: Мир, 1968. ≈ 427 с.
  6. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. ≈ М.: Мир, 1977. ≈ Т.Т. 1, 2. ≈ 1982. ≈ Т.Т. 3, 4.
  7. С. Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. ≈ М.: ГИТТЛ, 1957. ≈ 476 с.
  8. Е. Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье. ≈ М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. ≈ 479 с.
  9. И. Снеддон. Преобразование Фурье. ≈ М.: И.Л., 1955. ≈ 667 с.
  10. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. ≈ М.: ФИЗМАТГИЗ, 1958. ≈ 678 с.
  11. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их применения. ≈ М.: ФИЗМАТГИЗ, 1968. ≈ 324 с.
  12. Д. Мамфорд. Лекции о тэта-функциях. ≈ М.: Мир, 1988. ≈ 448 с.
IV. Справочники и задачники

Существуют хорошие справочные руководства по общим теоретическим вопросам математической физики. Что же касается конкретных, точно решаемых задач и более частных методов, то здесь дела обстоят сложнее. Мир математической физики потрясающе многообразен и богат, так что никто еще не решился препарировать и разложить по полочкам имеющийся огромный запас разнообразных результатов и подходов. В какой-то мере роль справочников по конкретным проблемам исполняют сборники задач ≈ и поэтому на полках у профессиональных физиков и математиков часто можно увидеть несколько различных задачников.
Формулу, которую вы берете из справочника, нужно подвергнуть проверке ≈ для начала хотя бы косвенной. Это хорошо умеют делать физики ≈ рассмотреть простые частные и предельные случаи (╚А что дает формула, если масса планеты бесконечно мала? Бесконечно велика?╩), проверить, соответствует ли характер зависимости здравому смыслу (╚По этой формуле получается, что мед течет по трубке быстрее, чем вода. Скорее всего, где-то ошибка.╩), посмотреть, получаются ли в частных случаях известные Вам формулы (╚При x=0 имеем sin a + cos a =1.3, что-то не так.╩).
Нужна особенно тщательная проверка, если на основе сведений, найденных в справочнике, получается замечательный новый результат. Таким путем мне не раз случалось обнаруживать в справочниках опечатки.

  1. В. М. Бабич и др. Линейные уравнения математической физики. ≈ М.: Наука, 1968. (Справочная математическая библиотека.)
  2. П. П. Забрейко. Интегральные уравнения. ≈ М.: Наука, 1968. (Справочная математическая библиотека).
  3. Ф. Морс, Г. Фешбах. Методы теоретической физики. ≈ М.: И. Л., 1958. ≈ Т. 1.
  4. М. М. Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики. ≈ М.: ГИТТЛ, 1954. ≈ 87 с.
  5. Н. Н. Лебедев, И. П. Скальская, Я. С. Уфлянд. Сборник задач по математической физике. ≈ М.: ГИТТЛ, 1955. ≈ 420 с.
  6. Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. М. Тихонов. Сборник задач по математической физике. ≈ М.: ГИТТЛ, 1965. ≈ 683 с.
  7. Сборник задач по уравнениям математической физики (под ред. В. М. Владимирова) ≈ М.: Наука, 1982. ≈ 256 с.
  8. А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко. Сборник задач по уравнениям математической физики. ≈ М.: Наука, 1977. ≈ 223 с.
Главная страница WWW-среды "Математические модели естетсвознания".
Страница "Конспекты и планы курсов
 

Главная страница курса "Лекции об уравнениях математической физики"
Кафедра вычислительной математики и математической физики